[ Quadratische Gleichungen bei Euklid ]
in den mathematischen Texten des antiken Griechenland wird eine Reihe von Typen quadratischer Gleichungen natürlich auf geometrischem Weg - gelöst. Als Beispiel diskutieren wir die Proposition 11 aus dem II. Buch der "Elemente" des Euklid. Darin wird eine geometrische Konstruktion angegeben, die der Lösung der Gleichung
entspricht:
"Eine gegebene Strecke so zu teilen, daß das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist."
"Die gegebene Strecke sei 
. Man soll so teilen, daß das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist.
Man zeichne über das Quadrat ABCD, halbiere 
im Punkt E, ziehe 
, verlängere 
nach F, mache 
, zeichne über 
das Quadrat FH und ziehe 
nach K durch. Ich behaupte, daß man in H so geteilt hat, daß 
. Da die Strecke nämlich in E halbiert und 
ihr angelegt ist, so ist 
(nach Buch II, Proposition 6).
Aber 
; also ist 
.
Aber 
; denn der Winkel bei A ist ein rechter (Buch 1, Proposition 47); also ist 
.
Man nehme das gemeinsame 
weg; dann ist 
der Rest. 
ist hier FK; denn 
; und 
ist AD; also ist FK = AD. Man nehme das Parallelogramm AK beiderseits weg; dann ist der Rest das Parallelogramm FH = HD. HD ist hier 
; denn 
und FH ist 
; also ist 
.
Man hat also eine gegebene Strecke in H so geteilt, daß - dies hatte man ausführen sollen."
Die hier angegebene Konstruktion können wir in moderner algebraischer Sprache so beschreiben:
Zur Lösung von wird zunächst die linke Seite durch Addition von 
(auf beiden Seiten) auf ein vollständiges Quadrat ergänzt. Das entspricht der Konstruktion des Punktes E (das Quadrat über 
ist gleich 
). Zieht man auf beiden Seiten die Wurzel, so erhält man 
(natürlich hat man nur die positive Wurzel zu nehmen). 
entspricht der Strecke 
und 
der Strecke 
. Nun wird a auf beiden Seiten abgezogen, und man erhält 
.Das entspricht der Strecke 
. Aus diesen Ausführungen erkennt man deutlich, wie mühsam die geometrische Auflösung einer quadratischen Gleichung ist, und damit die Wichtigkeit einer adäquaten Symbolik. Die ersten Ansätze dazu entstanden bereits in der Mathematik der Griechen, allerdings nicht in ihrer Hochblüte, sondern in ihrer Spätzeit, im Werk des Urvaters der Algebra: Diophant.
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