[ Quadratur des Kreises ]

Schon die Ägypter "lösten" dieses Problem, indem sie als Seite des gesuchten Quadrats 8/9 des Durchmessers des Kreises nahmen. Dieser Wert ist im Papyrus Rhind angegeben und läuft auf einen Wert von 3,1605 für hinaus.

Von den Griechen setzte sich bereits Anaxagoras mit der Kreisquadratur auseinander. Diese war in Griechenland sehr populär und fand sogar ihren Weg in Theaterstücke. So ließ Aristophanes in den "Vögeln" den Astronomen Meton auftreten und sagen:

"Ein gerades Richtscheit nehme ich dann und messe, damit der Kreis viereckig werde; in der Mitte sei der Markt mit Straßen, welche senkrecht laufend just nach dieser Mitte führen, gleich den Strahlen, die ein Stern von seiner Scheibe pfeilgerade schießt nach jeder Richtung.

"Traun, ein Thales ist der Mann!" ruft darauf Peisthetairos, der Führer der Vögel, spöttisch aus und prügelt den unglücklichen Meton hinaus."

Es ist klar, wie hier der Kreis durch zwei sich in der Mitte senkrecht kreuzende Straßen "viereckig gemacht" wird. Die Quadratur des Meton war nur ein Witz. Durchaus ernst gemeint war jedoch jene Kreisquadratur, die von Antiphon versucht wurde (leider bedient sie sich keines mathematischen Gedankenganges, sondern nur heuristischer Überlegungen). Antiphon dachte sich dem gegebenen Kreis ein Polygon eingeschrieben, etwa 'ein Dreieck oder ein Quadrat. Durch Halbierung der Kreisbügen über den Seiten entsteht ein Polygon mit doppelter Seitenanzahl. Diesen Prozeß dachte sich Antiphon immer wieder durchgeführt und glaubte, dadurch schließlich ein Polygon zu erhalten, dessen Grundlinie so klein wäre, daß sie sich mit dem Kreisumfangsstückchen decken würde. Nun kann man jedes Polygon in ein flächengleiches Quadrat verwandeln. So glaubte Antiphon, die Kreisquadratur bewerkstelligt zu haben.

Wie beim Dritteln eines Winkels waren die Griechen beim Problem der Quadratur des Kreises sehr findig in der Entdeckung von Kurven, mit deren Hilfe man Lösungen erzielte. Die wohl bekannteste Kurve dieser Art ist die Quadratrix. Diese Kurve wurde von einem Geometer namens Hippias entdeckt. Es ist nicht ganz gewiß, ob dieser Geometer mit dem bekannten Hippias von Elis identisch ist. Hippias verwendete die Quadratrix zur Dreiteilung des Winkels. Die Quadratrix kann man auf folgende Art und Weise definieren (siehe Abbildung).

Wir denken uns einen Viertelkreis CXA um den Punkt O gegeben. Ein Radiusvektor drehe sich in einem gegebenen Zeitraum T gleichförmig von OC nach OA. Die Gerade MN bewege sich in dem selben Zeitraum ebenfalls gleichförmig von CB nach OA. Dann ist die Menge aller Schnittpunkte P von OX und MN eine Quadratrix. Pappos schreibt darüber:

"Für die Quadratur des Kreises wurde eine bestimmte Kurve von Deinostratos, Nikodemes und einigen jüngeren Geometern verwendet. Diese Kurve erhielt ihren Namen von ihrer Eigenschaft, denn sie wurde von diesen Geometern Quadratrix genannt."

Wir zeichnen diese Kurve nochmals (Abbildung). Wenn es nun gelingt, zu zeigen, daß ist, so haben wir damit eine Beziehung gewonnen, aus der man eine Strecke konstruieren kann, die gleich dem Bogen CXA ist. Somit hat man denn den Umfang des Kreises um O mit dem Radius als Strecke dargestellt, woraus man unmittelbar die Quadratur dieses Kreises gewinnen kann.

Zum Beweis der Beziehung gibt Pappos einen doppelten indirekten Beweis an. Nehmen wir an, es gilt

. Man kann die Übereinstimmung dieser beiden Quotienten dann durch Verkleinerung oder Vergrößerung der Strecke erreichen. Pappos zeigt, daß das auf einen Widerspruch führt.

Sei also zunächst > so beschaffen, daß. Wir zeichnen den Viertelkreis um O mit dem Radius und bezeichnen seinen Schnittpunkt mit OC mit C', den Schnittpunkt mit der Quadratrix mit P und den Fußpunkt des Lotes durch P auf OA mit A". Da nun CXA : C’PA = : gilt (dieses Resultat war den Griechen geläufig), erhält man: C'PA' = .

Nach der Definition der Quadratrix gilt .

Somit folgt:

Also wäre der Bogen PA' gleich der Strecke . Das ist aber ein Widerspruch, denn ein Halbbogen kann niemals seiner Halbsehne gleich sein.

Nun nehmen wir an, < sei so bestimmt, daß gilt:

Wir zeichnen einen Viertelkreis um O mit Radius , bezeichnen den Schnittpunkt mit OC mit C", errichten in A" das Lot auf OA und erhalten P als Schnittpunkt des Lotes mit der Kurve. M sei der Schnittpunkt von OP mit dem Viertelkreis mit dem Radius (Abbildung).

Dann gilt

, woraus wegen folgt,daß .

Ferner gilt aufgrund der Definition der Quadratrix

,

somit , also . Daß dies ein Widerspruch ist, erkennt man sofort aus der Figur, die man durch Spiegelung der Figur MA"P an der Geraden OP erhält.