Kegelschnitte

[ Der Ursprung der Kegelschnitte ]

Die meisten der grundlegenden Begriffe der Mathematik haben ihre Wurzeln in unserer Umwelt. Verschiedentlich wurden Versuche unternommen, den Zahlbegriff und die einzelnen geometrischen Begriffe bis zu ihren Anfängen zurückzuverfolgen, und man gelangte zu mehr oder weniger plausiblen Erklärungen. In diesem Zusammenhang ist die Frage interessant, wie die Behandlung der Kegelschnitte in die Mathematik Eingang fand.

Geht man unvoreingenommen an dieses Problem heran, so könnte man anführen, daß Kegelschnitte in unserer Umwelt auftreten, denn die Planetenbahnen sind Kegelschnitte. Diese Tatsache wurde aber erst 2000 Jahre nach der ersten mathematischen Behandlung der Kegelschnitte entdeckt! Man könnte sich auch vorstellen, daß die antiken Baumeister mit der Ellipse als schiefem Schnitt von Säulen vertraut gewesen waren. Aber es waren die Parabel und Hyperbel, die man zuerst in den mathematischen Untersuchungen behandelte.

Sind die Kegelschnitte vielleicht die Erfindung irgendeines genialen Mathematikers, der diese als "general abstract nonsense" um ihrer selbst willen "wie eine Spinne, die ihr Netz aus sich selbst heraus spinnt" (dieses Zitat stammt von Roger Bacon) untersuchte?

Natürlich ist dem nicht so! Die Griechen selbst überlieferten uns die Geschichte der Entdeckung der Kegelschnitte. Die Hauptquelle dafür ist Eutokios, einer der Kommentatoren des Archimedes. Er berichtet nämlich ausführlich über die Entstehung und die ursprüngliche Behandlung des Problems der Würfelverdoppelung. Wie wir bei der Diskussion dieses Problems schon angeführt haben, wurde es von Hippokrates von Chios in das dazu äquivalente Problem der Bestimmung der beiden mittleren Proportionalen x,y zu zwei gegebenen Strecken der Länge s und 2s umgeformt. Man hatte also folgende Proportion zu lösen:

s : x = x : y = y : 2s.

Menaichmos löste diese Aufgabe des Auffindens zweier mittlerer Proportionalen x und y zwischen zwei Strecken a und b auf folgende Weise:

Um x und y so zu bestimmen, daß die Proportion a : x = x : y = y : b gilt, denken wir uns = x und = y bereits bestimmt und in einem Koordinatensystem aufgetragen. Aus der Proportion erhalten wir zunächst = ay, also muß P auf einer "Parabel" mit dem Scheitel O liegen. Weiters erhält man aus der Proportion xy = ab, also muß P auf einer "Hyperbel" mit den Asymptoten OZ und OK liegen. Daher kann man P als Schnitt zweier "Kurven" finden, und umgekehrt folgt die Proportion aus den Gleichungen der beiden "Kurven".

Allerdings wurde diese Lösung des Menaichmos von den Mathematikern seiner Zeit nicht akzeptiert. Denn was sollten diese "Kurven" sein? Waren das überhaupt mathematische Objekte? Was also fehlte, war die Grundlegung dieser Kurven im theoretischen Mathematikgebäude der damaligen Zeit. Platon hatte diese und andere Lösungsversuche des Problems der Würfelverdoppelung mit den Worten abgetan: "Diese sind nichttheoretische Methoden und zerstören das Gute in der Geometrie". Die Hauptentdeckung des Menaichmos war es nun, daß diese "Kurven" als rechtwinkelige Schnitte an geraden Kreiskegeln auftreten.

Kurven gaben die Griechen durch ihre "Symptome" an. Unter dem Symptom einer Kurve verstand man eine Bedingung, die einen Punkt charakterisiert, der auf der Kurve liegt. Betrachten wir etwa die Parabel. Man findet sie als rechtwinkeligen Schnitt an einem geraden Kreiskegel mit einem rechten Öffnungswinkel. Wie Menaichmos das Symptom der "Parabel" abgeleitet hat, können wir nur vermuten. Man glaubt heute, daß er etwa so vorgegangen sein könnte - wobei wir den von ihm vermutlich eingeschlagenen Weg in moderner Ausdrucksweise darstellen:

Sei TKC eine Ebene durch die Achse eines geraden Kreiskegels mit rechtem Öffnungswinkel, Spitze T, Erzeugender TK und Grundfläche durch KC. Bezeichne AP die Schnittgerade mit einer Ebene, die senkrecht auf TK steht. Diese Ebene schneidet den Kegel in einer Kurve. Zwei symmetrisch zur Zeichenebene TKC liegende Punkte dieser Kurve - wir bezeichnen sie mit Q und R - denken wir uns in den Punkt P der Zeichenebene projiziert. Bezeichne y den Abstand , und sei x gleich der Strecke . Wir zeichnen Al und GPH parallel zu KC und bezeichnen den Durchstoßpunkt der Achse durch die rechtwinkelige Schnittebene mit L. Dann gilt:

 

Nun ist , und diese Größe ist für jeden Punkt der Schnittkurve eine Konstante. Daher setzt man: . Somit erhält man = px, das Symptom der "Parabel". Umgekehrt kann man jede Kurve mit dem Symptom = px als rechtwinkeligen Schnitt an einem rechtwinkeligen geraden Kreiskegel darstellen, indem

man an der Erzeugenden TK des Kegels abträgt.

Auf analoge Weise kann man das Symptom der "Ellipse" als rechtwinkeligen Schnitt an einem spitzwinkeligen geraden Kreiskegel ableiten. Wählt man einen stumpfen Öffnungswinkel, so erhält man das Symptom der "Hyperbel".

Ein Indiz für die Richtigkeit der hier skizzierten Entstehungsgeschichte der Kegelschnitte liegt darin, daß bis zum Auftreten des Apollonios die Kegeischnitte "Schnitt am rechtwinkeligen Kegel "Schnitt am spitzwinkeligen Kegel" und "Schnitt am stumpfwinkeligen Kegel" genannt wurden (manchmal findet sich auch der Name "Perlen des Menaichmos"). Diese Bezeichnungen weisen darauf hin, daß Menaichmos Kegelschnitte nicht um ihrer selbst willen betrachtete, sondern seiner Lösung der Würfelverdoppelung nur mathematisches Leben verleihen wollte. Denn sonst hätte er wahrscheinlich alle drei Arten durch Schnitte mit Ebenen in variierendem Winkel zur Erzeugenden an einem einzigen Kegel abgeleitet.

Das Studium der Eigenschaften der einzelnen Kegelschnitte ging rasch voran. Aristaios (um 300 v.Chr.) schrieb bereits ein Buch über Kegelschnitte, ebenso Euklid. Leider sind beide Texte nicht erhalten geblieben. Wir wissen davon nur aus verschiedenen Zitaten späterer griechischer Mathematiker. Vor allem Archimedes bezog sich immer wieder auf Resultate des verlorengegangenen Werkes Euklids. Archimedes hat sich mit den Kegelschnitten intensiv auseinandergesetzt. Er kennzeichnete sie bereits systematisch durch ihre Symptome. Bei seiner Behandlung der Ellipse und Hyperbel verwendete er in der Regel die sogenannte Zwei-Abszissen-Form. Zu dieser gelangt man auf folgende Weise:

Wir bezeichnen die Hauptachse a des Kegelschnittes mit und zeichnen den Kegelschnitt. Nun zeichnen wir die Senkrechte von einem Punkt P des Kegelschnitts auf die Achse , bezeichnen die Strecke mit y und nennen sie "Ordinate" von P. Die Längen der Strecken = x und = x, heißen "Abszissen" von P. Die zweite Abszisse kann man jeweils durch die erste Abszisse und die Achse ausdrücken. Im Fall der Ellipse ist = a - x, im Fall der Hyperbel erhält man = a + x. In beiden Fällen leitet Archimedes das Symptom her, wobei eine Konstante ist. Somit ist das Symptom der Ellipse gegeben durch , das der Hyperbel durch .

Bereits in der Frühzeit des Studiums der Kegelschnitte wurde eine Vielzahl von interessanten Resultaten entdeckt. Archimedes bestimmte die Fläche des Parabelsegmentes. Auch gelang es ihm, die Fläche der Ellipse zu berechnen, und zwar auf folgende Weise:

Gegeben sei eine Ellipse mit den Achsen 2a und 2b. Um zu zeigen, daß die Fläche dieser Ellipse gleich ab ist, zeichnet Archimedes einen Hilfskreis mit dem Radius a um die Ellipse. Sei Q ein Punkt der Ellipse, P der Fußpunkt des Lotes auf die Hauptachse und P, der Schnittpunkt des Lotes mit dem Hilfskreis (siehe Abbildung). Mit den Bezeichnungen der Skizze hat das Symptom der Ellipse die Gestalt

 

 

Durch Einsetzen des Punktes mit den "Koordinaten" a und b ermittelt man . Aus der Ellipseneigenschaft für den Punkt Q (dieser hat die "Koordinaten" a + u und v) erhält man:

Nun beweist Archimedes mittels des Exhaustionsprinzips, daß die Fläche F der Ellipse das -fache der Fläche des Hilfskreises ist. Dazu zeichnet er einen Kreis C" mit dem Radius . Zunächst nimmt er an, daß . Nun schreibt er dem Kreis C" ein regelmäßiges 4n-Eck P" so ein, daß F.">F (das geht wegen der Annahme und dem

Exhaustionsprinzip). Nun schreibt er dem Hilfskreis ein zu P" ähnliches Polygon P' ein. Es ist dann

 

Bezeichne P das der Ellipse eingeschriebene Polygon, dessen Ecken die Schnittpunkte der Senkrechten auf die Hauptachse durch die Punkte von P' mit der Ellipse sind (siehe Abbildung). Aus der vorher angegebenen Gleichung erhält man (mit den Bezeichnungen der Abbildung):

,

also

.

Vergleicht man paarweise die Dreiecke und Trapeze, die P bzw. P' aufbauen, so sieht man:

Also gilt im Widerspruch dazu, daß P der Ellipse eingeschrieben ist. Auf analoge Weise führt Archimedes die Annahme auf einen Widerspruch. Damit zeigt er mittels doppelter reductio ad absurdum, daß F = ab ist.

Unter den griechischen Mathematikern lieferte Apollonios von Perga die reifste Darstellung der Kegelschnitte. Sein Werk "Konika" machte ihn sogar bei seinen Zeitgenossen berühmt, die Apollonios mit dem Beinamen "der große Geometer'' auszeichneten. Die "Konika" bestehen aus acht Büchern, in denen etwa 400 Propositionen abgehandelt werden. Die ersten vier Bücher sind uns in griechischer Sprache erhalten, die nächsten drei in arabischer Übersetzung. Das achte Buch ist verloren gegangen.

Zur Angabe des Inhalts lassen wir Apollonios selbst zu Wort kommen. Er schreibt in der Einleitung zu den "Konika":

"Von den acht Büchern nun enthalten die vier ersten die allgemeinen Grundlagen dieser Disziplin. Das erste von diesen enthält die Erzeugung der drei Kegelschnitte und der gegenüberliegenden Schnitte*, sowie deren Haupteigenschaften, vollständiger und allgemeiner behandelt, als es von den Früheren dargestellt worden ist. Das zweite Buch behandelt dasjenige, was sich auf die Durchmesser und die Achsen der Schnitte bezieht, die Asymptoten und anderes, was von allgemeiner und wesentlicher Bedeutung ist. Was ich aber Durchmesser, und was ich Achse nenne, das wirst Du aus diesem Buch erfahren. Das dritte Buch enthält viele und merkwürdige Theoreme, die nützlich sind für die Behandlung der körperlichen Örten, und von denen die meisten schön und neu sind. Nachdem ich diese gefunden hatte, nahm ich wahr, daß von Euklid die Synthesis des Ortes zu drei und vier Geraden nicht gegeben sei, sondern nur ein Teil derselben und dieser überdies nicht glücklich. Denn es war nicht möglich, daß diese Synthesis richtig vollendet wurde ohne das, was von mir neu gefunden ist. Das vierte Buch lehrt, auf wieviele Arten sich Kegelschnitte unter sich und mit einer Kreisperipherie schneiden können, und anderes mehr, was beides nicht von meinen Vorgängern behandelt ist: in wievielen Punkten ein Kegelschnitt oder ein Kreis und gegenüberliegende Schnitte sich mit gegenüberliegenden Schnitten schneiden.

Die übrigen vier Bücher enthalten weitergehende Betrachtungen. Das fünfte handelt nämlich ausführlicher über Maxima und Minima; das sechste über kongruente und ähnliche Kegelschnitte; das siebente über Theoreme, die auf Diorismen Bezug haben; das achte behandelt abgegrenzte Aufgaben über Kegelschnitte."

Zum Unterschied von seinen Vorgängern wählte Apollonios einen neuen Ausgangspunkt für seine Diskussion der Kegelschnitte. Er studierte nämlich systematisch beliebige ebene Schnitte an einem Kreiskegel und nicht mehr nur Schnitte im rechten Winkel zur Erzeugenden.

Wir wollen nun nachvollziehen, wie Apollonios die Symptome der Kegelschnitte im Rahmen seiner allgemeinen Studien abgeleitet hat.

Apollonios nimmt einen schiefen Kreiskegel mit der Spitze T als gegeben an. Als Achse des Kegels definiert er die Verbindungsstrecke von T mit dem Mittelpunkt M des Grundkreises.

Der Kegel wird von einer Ebene geschnitten, deren Spur in der Grundkreisebene mit bezeichnet wird. Auf , gibt es einen normal stehenden Durchmesser des Grundkreises. Somit ist eine Ebene TCID bestimmt. Wir wählen als x-Achse, eine Parallele zu als y-Achse unseres Kegelschnittes. Sei K ein beliebiger Punkt des

Kegelschnitts. Durch diesen zeichnen wir eine Ebene parallel zum Grundkreis, die den Kegel in einem Kreis mit dem Mittelpunkt N schneidet. Die Schnittpunkte des Kreises mit den Erzeugenden TD und TC bezeichnen wir mit P bzw. Q. Abb. 157.1 zeigt ein axonometrisches Bild; Abb. 157.2 zeigt den Grund- und Aufriß.

Nach Konstruktion steht im Kreis QKP senkrecht auf dem Durchmesser Also gilt nach dem Höhensatz:

Nun zeichnen wir durch T eine Parallelebene zur Ebene . Diese geht durch TS. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke

FQB, SCT und der Dreiecke FPA, SDT erhalten wir die beiden Proportionen:

.

Multiplikation dieser Proportionen ergibt:

Auf der rechten Seite steht ein Verhältnis, das für jeden Punkt K des Kegelschnittes fest bleibt. Wir bezeichnen es daher mit . Nun ersetzen wir noch durch und erhalten:

=().

Bezeichnen wir mit x, mit , so erhalten wir als Symptom der Ellipse: , die Zweiabszissenform des Archimedes. Bezeichnen wir die Strecke mit a und setzen p = a, so erhält das Symptom der Ellipse die Gestalt:

Auf analoge Weise leitet Apollonios das Symptom der Hyperbel

und das Symptom der Parabel ab.

Diese drei Symptome werden in der Sprache der geometrischen Algebra formuliert. Bei Problemen, die auf algebraische Gleichungen zweiten Grades führen, wird die Sprechweise der "Flächenanlegung" benützt. Dabei wird das Symptom so interpretiert, daß das Rechteck mit der Seitenlänge x und der Fläche mit der zweiten Seite an die Strecke p angelegt wird und dabei dieser "gleichkommt". In Anlehnung an das griechische Wort "gleichkommen" nennt Apollonios diesen Kegelschnitt "Parabel".

wird als Anlegung der zweiten Seite eines Rechtecks mit der Seite x und der Fläche y an die Strecke p aufgefaßt. Dabei übertrifft die zweite Seite die Strecke p um die Länge . Es liegt also ein "überschießendes" Rechteck vor. Aus dem griechischen Wort "Überschuß" leitet sich die Bezeichnung "Hyperbel" ab. Auf analoge Weise fehlt bei der Interpretation von als Flächenanlegung eines Rechtecks mit der Seite x und der Fläche an die Strecke p ein Stück, es liegt also ein "Defekt" vor. Aus dem entsprechenden griechischen Wort erhält Apollonios den Namen "Ellipse".

Historisch interessant ist das von Apollonios in seiner Einleitung zu den "Konika" zitierte Problem. Es ist nämlich jenes Problem, das den Anstoß zur Entwicklung der analytischen Geometrie durch Descartes gab. Es handelt sich dabei darum, zu vier festen Geraden den Ort jenes Punktes zu finden, der sich so bewegt, daß das Produkt seiner Abstände von zwei dieser Geraden in einem festen Verhältnis zum Produkt der Abstände von den beiden anderen Geraden steht. Der Ort ist in jedem Fall ein Kegelschnitt. Dieses von Apollonios gelöste Problem beschäftigte auch Pappos. Dieser versuchte, es auf 4n Gerade zu verallgemeinern, es gelang ihm aber nicht (man nennt dieses Problem daher auch "Problem des Pappos"). Descartes löste das Problem, indem er seine Koordinatenmethode formulierte. Das war der Ausgangspunkt der analytischen Geometrie.

Die Meinung, daß die Mathematik der Griechen ganz und gar abstrakt war, ist weit verbreitet, Wohl wird das Werk des Archimedes als eine Ausnahme anerkannt, aber das sei eben die Ausnahme, die die Regel bestätigt. Wir wollen hier noch eine weitere jener Ausnahmen kennenlernen, nämlich das Manuskript des Diokles "Über Brennspiegel". Dieses zeigt, daß bereits die griechischen Mathematiker der klassischen Periode (Diokles ist wahrscheinlich ein Zeitgenosse von Apollonios gewesen) die Theorie der Kegelschnitte zu praktischen Zwecken nützten. Es wird in diesem Werk nämlich unter anderem angegeben, wie man einen Spiegel zum Entzünden von Feuer bei gegebener Brennweite zu konstruieren hat. Über dieses Problem schreibt Diokles in der Einleitung zu seinem Werk:

"... Als Zenodoros, der Astronom, nach Arkadipn kam und uns vorgestellt wurde, stellte er uns das Problem, einen Spiegel so zu konstruieren. daß sich bei Sonnenbestrahlung die reflektierten Strahlen in einem Punkt treffen und dadurch Feuer erzeugt wird . . . Dieses Problem ist in der Praxis von Dositheos gelöst worden. Wir geben hier einen mathematischen Beweis für die Lösung dieses Problems...".

Diokles hatte klare Vorstellungen über die praktische Verwendbarkeit seiner Konstruktion. So führte er in seiner Einleitung u.a. aus:

"Wir glauben, daß es möglich ist, ein Brenninstrument aus Glas mit einer speziellen Eigenschaft zu verfertigen, nämlich so, daß man damit Lampen produzieren kann, die Feuer in Tempeln entzünden können und Opfer verbrennen können. Wie wir gehört haben, wird das in weit entfernten Städten gemacht, vor allem an hohen Feiertagen. Es macht dann die Bevölkerung dieser Städte staunen. Das ist etwas, was wir auch vollbringen solIten."

Im folgenden führen wir die Konstruktion des Diokles an. Er konstruiert im wesentlichen einen Spiegel, der die Gestalt eines Drehparaboloids hat, wobei die Brennweite vorgegeben ist. Einige Resultate über die Parabel verwendet er ohne Beweis, was von der gründlichen Kenntnis der Eigenschaften der Kegelschnitte zur damaligen Zeit zeugt (der Leser kann sich mit Hilfe der analytischen Geometrie unschwer von der Richtigkeit der beiden angeführten Beziehungen überzeugen).

"Gegeben sei eine Parabel KMB mit der Achse AZ, und es sei der halbe Parameter der Quadrate über den Ordinaten . Sei eine Strecke auf der Achse, die gleich ist. Wir halbieren im Punkt D. Nun ziehen wir die Tangente an die Parabel in einem beliebigen Punkt und zeichnen die Strecke als Ordinate auf . Dann wissen wir, daß und daß das Lot auf A in die Achse unterhalb von E schneidet Wir zeichnen also Z senkrecht auf A und verbinden mit D. Dann ist , und da gilt, erhalten wir . Wir ziehen auf beiden Seiten ab. Der Rest ist

.

Es ist aber , also ist .

Es ist , denn D halbiert , und somit ist die Summe .

Und weil das Dreieck AZ rechtwinkeliq ist und seine Grundlinie in D halbiert wird, gilt

(Satz von Thales).

Somit gilt <ZD = <ZD und <AD = <AD.

Wir ziehen eine Paralelle S zu AZ durch den Punkt . Dann ist <ZD = <SZ. Mit <ZD = <ZD ist dann auch <ZD = <SZ. Nun sind <AZ und <LZ beide rechte Winkel, also bleibt

<LS = <AD

Trifft die Gerade S die Gerade A, so wird diese durch den Punkt D reflektiert, indem sie gleiche Winkel, <AD und <LS, mit sich selbst und der Tangente A bildet. Somit haben wir gezeigt: Zieht man in irgend einem Punkt von KBM eine Tangente an die Parabel, verbindet man diesen Punkt mit D, und zieht man eine Parallele S zu AZ, so wird die Gerade S in den Punkt D reflektiert. Und alle parallelen Geraden von allen Punkten auf KBM haben dieselbe Eigenschaft, gehen also - da sie mit den Tangenten gleiche Winkel bilden - alle durch den Punkt D."

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