Die drei klassischen Probleme der Antike

[ Einführung ]

Drei wichtige voneinander verschiedene Entwicklungslinien beherrschen die ersten dreihundert Jahre der griechischen Mathematik. Eine Entwicklung geht aus von den Pythagoräern und verläuft über Hippokrates, Eudoxos, Theodoros und Theaitetos. Eine Zusammenfassung dieses Zweiges gibt Euklid in seinen "Elementen". Eine weitere Entwicklungsrichtung betrifft die infinitesimalen Methoden und die Ansätze zu Grenzprozessen. Sie umfaßt die Paradoxa von Zenon, die Exhaustionsmethode von Eudoxos und die atomistische Theorie des Demokrit. Ihren Höhepunkt finden diese Untersuchungen im Werk des Archimedes. Eine dritte Linie betrifft die höhere Geometrie. Interessanterweise wird die Entwicklung auf diesem Gebiet immer wieder durch die Beschäftigung mit drei Problemen vorangetrieben. Diese drei Probleme sind als die "klassischen Probleme der Antike" in die Geschichte der Mathematik eingegangen.

Es handelt sich um folgende Probleme:

1. Die Dreiteilung des Winkels;

2. Die Verdoppelung des Würfels;

3. Die Quadratur des Kreises.

Die intellektuelle Herausforderung, die durch diese Probleme gegeben war, lag dabei vor allem in der Bedingung, daß diese Fragen nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal gelöst werden durften. Die Beschränkung auf diese sogenannten "Euklidischen Werkzeuge" leitete sich aus den Postulaten ab, die Euklid am Anfang seiner "Elemente" zusammengestellt hatte.

Die beiden einzigen zugelassenen Möglichkeiten bei Anwendung dieser Werkzeuge sind:

1. Das Ziehen einer Geraden von unbeschränkter Länge durch zwei beliebig gegebene voneinander verschiedene Punkte.

2. Das Ziehen eines Kreises, der einen beliebig gegebenen Punkt als Mittelpunkt hat und durch einen beliebig gegebenen Punkt geht.

Man darf daher nur ein unmarkiertes Lineal und einen (hypothetischen) "Euklidischen" Zirkel verwenden. Man könnte diesen dadurch beschreiben, daß er zusammenklappt, wenn man ihn vom Papier abhebt, d.h. man kann mit diesem Zirkel zunächst keine Strecke übertragen. Allerdings kann man zeigen, daß diese Operation auch mit dem "Euklidischen" Zirkel möglich ist, wenn das Lineal als zusätzliches Hilfsmittel erlaubt ist. Es sind also moderne Zirkel und "Euklidische" Zirkel äquivalent in Bezug auf die Möglichkeiten der Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Daraus ergibt sich die Richtigkeit folgender Annahmen für geometrische Konstruktionen mit den Euklidischen Werkzeugen:

Es ist möglich, von jedem Punkt eine Gerade zu jedem anderen Punkt zu ziehen.

Es ist möglich, auf dieser Geraden von einem gegebenen Punkt aus eine gegebene Strecke aufzutragen.

Es ist möglich, einen Kreis mit einem beliebig angegebenen Punkt als Mittelpunkt und einer beliebig gegebenen Strecke als Radius zu zeichnen.

Zur Verdeutlichung der vorangegangenen Ausführungen sollte man vielleicht erwähnen, daß die Worte "Lineal" und "Zirkel" im Buch des Euklid nicht vorkommen.

Das hätte nicht zu seiner Einstellung zur Geometrie gepaßt. Denn mit diesen Werkzeugen könnte man ja nur eine Annäherung an die eigentliche geometrische Wahrheit erreichen.

Die drei klassischen Probleme sind mit Euklidischen Hilfsmitteln nicht lösbar. Dies wurde erst über 2000 Jahre nach dem Auftauchen dieser Probleme gezeigt. Im Falle der Würfelverdoppelung und der Winkeldreiteilung verdanken wir diese Erkenntnis E. Galois, den endgültigen Beweis für die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal gab uns F. Lindemann. Dennoch bewirkte der Versuch, das Unmögliche zu vollbringen, eine ganze Reihe von hervorragenden Leistungen. Die Griechen fanden eine Reihe von brillanten Lösungen der "klassischen" Probleme mit zusätzlichen Hilfsmitteln, wobei sie viele bemerkenswerte Resultate der höheren Geometrie entdeckten.

Natürlich liegt nun die Frage nahe, warum denn die Griechen die klassischen Probleme nur unter so einschränkenden Bedingungen, wie sie durch die Beschränkung auf die Euklidischen Werkzeuge gegeben sind, lösen wollten. Um diese Frage zu beantworten, müssen wir zu den Anfängen der griechischen Mathematik zurückkehren.

Eine der großen Leistungen des antiken Griechenland war die Erfindung der Mathematik - genauer gesagt der Geometrie - als Wissenschaft in unserem heutigen Sinn. Die Griechen ersannen ein logisches System, das auf einfachen Annahmen beruhte, die allgemein als richtig angesehen wurden und in dem man kompliziertere Aussagen durch logische Argumentation aus den Grundannahmen ableitete. Die Griechen führten also den Beweis in ihre mathematischen Untersuchungen ein. Die Entwicklung der Wissenschaft Geometrie begann im 6. Jahrhundert v. Chr. mit dem Auftreten von Thales und Pythagoras. Eine weitgehende Vollendung des Gedankengebäudes der griechischen Geometrie finden wir mehr als zweihundert Jahre später in den "Elementen" des Euklid. Vorher schon hatten die Pythagoräer versucht, alle Phänomene ihrer Umwelt durch Zahlen (= natürliche Zahlen) oder Verhältnisse von solchen (=positive rationale Zahlen) zu beschreiben. Ihre Philosophie, daß der Begriff "Zahl" der Urgrund aller Dinge sei, wurde jedoch schon sehr bald von ihnen selbst durch die Entdeckung der irrationalen Zahlen erschüttert. Insbesondere hatten sie ja gefunden, daß ein so häufig auftretendes Objekt wie die Diagonale im Einheitsquadrat nicht durch ihren Zahlenbegriff beschrieben werden konnte. Sie hatten dafür einen Beweis, der im wesentlichen auf jenen indirekten Beweis hinausläuft, der auch heute noch in den Anfängervorlesungen aus Mathematik an unseren Universitäten vermittelt wird. Dadurch trat sozusagen die erste Grundlagenkrise in der Mathematik ein. Man meinte nun, es sei unmöglich, eine exakte Mathematik auf dem Zahlenbegriff allein aufbauen zu können. Der offensichtliche Ausweg aus diesem Dilemma war für die Griechen die Geometrie, denn existierte ja als geometrische Strecke, und jede auftretende endliche Größe konnte man als Strecke darstellen. Auch konnte man die arithmetischen Grundoperationen leicht in diesem geometrischen Rahmen durchführen. Addition und Subtraktion boten keine Schwierigkeiten, die Multiplikation faßte man als Bildung von Rechtecken auf, und die Division x = a : c erforderte lediglich die Konstruktion eines Rechteckes mit den Seiten c und x, dessen Fläche gleich dem Rechteck mit den Seiten a und 1 ist. So hatten die Pythagoräer und ihre Nachfolger den Rahmen für die nachfolgenden mathematischen Untersuchungen abgesteckt. Allerdings verwendeten sie nach wie vor ihre Proportionenlehre, die aber natürlich mit den Irrationalzahlen nicht fertig werden konnte. Wahrscheinlich versuchten sie die Verwendung der Proportionenlehre für Irrationalitäten dadurch zu rechtfertigen, daß sie sich die irrationalen Größen in unendlich viele kleine Stückchen zerteilt dachten. Das aber erregte die Kritik von Philosophen wie Zenon von Elea, der mit seinen Paradoxa in sehr eindringlicher Weise aufzeigte, in welchen logischen Schwierigkeiten sich die damaligen Mathematiker befanden. Sollte man annehmen, daß eine Größe aus einer großen Anzahl von kleinen unteilbaren Teilchen (Atomen) aufgebaut ist, oder daß vielmehr Größen unendlich oft teilbar sind? Zenon zeigte mit den folgenden beiden Paradoxa, daß unter keiner der beiden Annahmen Bewegung möglich ist.

Das Teilungsparadoxon: Nimmt man an, daß Strecken unendlich oft teilbar sind, so ist Bewegung unmöglich, wie die folgende Überlegung zeigt. Wenn jemand einen Tausendmeterlauf absolviert, muß er zuerst die Hälfte der Strecke, also 500 Meter zurücklegen, danach die erste Hälfte der verbleibenden Strecke, also ein Viertel der Gesamtstrecke, dann ein Achtel der Strecke usw. bis ins Unendliche. Er muß eine unendliche Reihe von Streckenabschnitten durchlaufen, wenn er bis ans Ziel kommen will. Eine unendliche Reihe ist jedoch definitionsgemäß eine Reihe, die nicht durchlaufen werden kann, weil sie niemals "fertig" ist. Der Tausendmeterläufer kann also nie ans Ziel kommen, und das Gleiche gilt für jede beliebige andere Strecke -also ist jede Bewegung unmöglich.

Das Paradoxon vom Pfeil: Nimmt man an, daß sich die Zeit aus kleinen unteilbaren Bestandteilen zusammensetzt, dann behält ein abgeschossener Pfeil stets seinen Platz, denn zu jedem Zeitteil ist er ja an einem festen Platz. Da dies also für jeden Zeitteil der Fall ist, folgt daraus, daß sich der Pfeil niemals bewegt.

Durch diese Paradoxa fühlten sich die Mathematiker lächerlich gemacht. Die Kritik Zenons ist sicherlich ein Grund dafür, warum die Mehrzahl der antiken Mathematiker in ihren Untersuchungen um das Unendliche einen großen Bogen machten und sich so bei den Griechen keine "Infinitesimalrechung" ausbilden konnte. Um die Kritik der Philosophen auszuschalten, bemühte man sich, den Schwachpunkt der alten Proportionenlehre auszuschalten. Dies gelang Eudoxos von Knidos (um 370 V.Chr.), welchem die folgende Definition der "Gleichheit von zwei Verhältnissen" zugeschrieben wird:

"Man sagt, daß Größen in demselben Verhältnis stehen, die erste zur zweiten wie die dritte zur vierten, wenn beliebige gleiche Vielfache der ersten und dritten zugleich größer, gleich groß oder kleiner sind als beliebige gleiche Vielfache der zweiten und vierten, in entsprechender Reihenfolge genommen."

Mit der Proportionenlehre des Eudoxos war das Werkzeug für die adäquate Behandlung der Irrationalzahlen geschaffen. Das Unendliche aber bekam man durch die Verwendung des Exhaustionsprinzips des Eudoxos (siehe § 6) in den Griff. Nun hatte man also alle logischen Schwierigkeiten überwunden und konnte auf diesen Grundlagen das Gedankengebäude der Geometrie aufbauen. Dieses ist in den "Elementen" des Euklid meisterhaft dargestellt. Am Anfang dieses Werkes legt Euklid alle Annahmen für die folgenden Untersuchungen genau nieder. Er beginnt mit "Definitionen" der behandelten Begriffe. Eigentlich sind diese Definitionen nur Namensgebungen für diese Begriffe, ohne daß deren Bedeutung erklärt wird: Diese Erklärung geschieht in den Postulaten, durch welche die grundlegenden Eigenschaften der Begriffe charakterisiert werden. Diese fünf Postulate lauten folgendermaßen:

P 1: Es ist möglich, eine Gerade von einem Punkt zu irgendeinem anderen Punkt zu ziehen.

P 2: Es ist möglich, innerhalb dieser Geraden eine endliche Strecke beliebig of aufzutragen.

P 3: Es ist möglich, einen Kreis mit einem gegebenen Punkt als Mittelpunkt und mi einer von diesem Punkt ausgehenden Strecke als Radius zu ziehen.

P 4 : Alle rechten Winkel sind einander gleich.

P 5: Wenn eine Gerade zwei Geraden so schneidet, daß die inneren Winkel auf einer Seite der Geraden weniger als zwei rechte Winkel sind, dann schneiden sich die zwei Geraden auf der Seite, auf der sich die Innenwinkel befinden, welche zusammen weniger als zwei rechte Winkel sind.

Bemerkung: P 5, ist das berühmte "Parallelenpostulat".

Sodann formuliert Euklid alle für seine Untersuchungen zulässigen logischen Grundsätze. Er nennt sie Axiome und meint damit Aussagen, die unmittelbar einsichtig sind, die allgemein als wahr akzeptiert werden. Seine Axiome lauten folgendermaßen:

A 1 : Dinge, die zum selben Ding gleich sind, sind selbst gleich.

A 2 : Wird Gleiches zu Gleichem addiert, so entsteht Gleiches.

A 3 : Wird Gleiches von Gleichem subtrahiert, so bleibt Gleiches.

A 4 : Dinge, die miteinander koinzidieren, sind gleich.

A 5 : Das Ganze ist größer als der Teil.

Euklids Vorgangsweise blieb für Jahrhunderte das Vorbild einer exakten mathematischen Untersuchung. Eben diese Definitionen, Postulate und Axiome Euklids beschränkten die Konstruktionen, die bei exakter Behandlung geometrischer (=mathematischer) Probleme erlaubt waren, auf die Verwendung eines unmarkierten Lineals und eines Zirkels, und dies erklärt also die wiederholten Versuche, die drei klassischen Probleme mit diesen Hilfsmitteln allein zu lösen. Keine Lösung, die man unter Verwendung anderer Hilfsmittel erreichen konnte, wurde von den Griechen der klassischen Periode als mathematische Lösung angesehen.

 

[ Die Dreiteilung des Winkels ]

Dieses Problem erfreut sich bei Amateurmathematikern großer Beliebtheit. Jahr für Jahr kann man in Zeitungen "Lösungen" des Problems mit Zirkel und Lineal finden. Wahrscheinlich ist dieses Problem deshalb so populär, da es nicht nur einfach zu formulieren ist, sondern es ja sehr leicht ist, eine Strecke mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile zu teilen. Auch sieht ein mathematisch nicht vorgebildeter Mensch überhaupt nur schwer ein, daß man die Unmöglichkeit der Lösung einer Aufgabe unter gewissen Bedingungen beweisen kann; im speziellen Fall kommt noch dazu, daß der Beweis der Unlösbarkeit des Problems mit Zirkel und Lineal tiefliegende mathematische Gedankengänge der Galoistheorie erfordert, die einem mathematischen Laien unverständlich sind.

Der erste Fortschritt, den die Griechen bei der Lösung des Problems machten, war die Umwandlung in das folgende äquivalente Problem: Wir fassen den Winkel < ABC als Winkel zwischen der Diogonale und der Seite eines Rechtecks BCAD auf (siehe Abbildung). Gelingt es uns, durch B eine Gerade, die in E und in F schneidet, so zu legen, daß = 2 ist, so bezeichnen wir mit G den Halbierungspunkt von .

Dann gilt, da das Dreieck EAF rechtwinkelig ist:

und damit

<ABG = <AGB = <GAF + <GFA = 2 <GFA = 2 <GBC.

Daher wird durch BF der Winkel < ABC dreigeteilt.

Erlaubt man zusätzlich zu den Euklidischen Hilfsmitteln, das Lineal mit einer Strecke zu markieren, so können wir das Lineal durch B so anlegen, daß die angezeichneten Punkte E' auf und F' auf liegen, und wir haben damit eine exakte Dreiteilung des Winkels erreicht.

Im "Liber assumptorum" des Archimedes finden wir eine ähnliche Reduktion. Dort lautet Satz 8:

Verlängere eine Sehne eines beliebigen Kreises (im eine Strecke gleich dem Radius und ziehe durch C den Durchmesser . Dann ist der Bogen AE dreimal so groß wie der Bogen BF (siehe Abbildung).

Im Verlauf der Mathematikgeschichte wurden immer wieder Lösungen des Winkeldreiteilungsproblems gefunden. Wir wollen hier - ohne Beweis - eine dieser Lösungen angeben, die von Descartes stammt. Dieser verwendet dazu neben Zirkel und Lineal nur noch eine feste Parabel:

Bezeichne ZPX die Achse einer fest vorgegebenen Parabel mit Scheitel P. Durch Halbierung des gestreckten Winkels ZPX mit Zirkel und Lineal erhält man das Lot PY auf die Achse. Wiederum durch Halbierung des rechten Winkels 4 XPY erhält man durch <XPW einen Winkel von 45°. Die Winkelhalbierende schneide die Parabel in N. Das Lot von N auf die Parabelachse PX schneide die Achse in E. Wir tragen die Strecke nochmals von E aus ab, finden so den Punkt Q und errichten in Q das Lot 1 auf die Achse. Sei nun < UOV der gegebene Winkel (Abbildung b), den wir dreiteilen wollen. Wir nehmen die Strecke in den Zirkel und ziehen damit als Radius einen Kreis um 0, der die Schenkel des Winkels in A und B schneide (Abbildung c). Wir halbieren die Sehne und tragen die halbe Sehne auf dem Lot 1 von Q aus ab, wodurch wir den Punkt R im Abstand = erhalten. Mit R als Mittelpunkt zeichnen wir den durch P gehenden Kreis k (siehe Abbildung d), der mit der Parabel außer P noch drei weitere Schnittpunkte besitzt. Bezeichnen wir mit S jenen, der P am nächsten liegt. Nun errichten wir in S das Lot auf die Achse und nehmen in den Zirkel. Dann bestimmen wir auf dem Kreisbogen AB den Punkt C so, daß = . Dann ist der Winkel < AOC ein Drittel des gegebenen Winkels < AOB.

Nun wollen wir noch eine Näherungslösung zu diesem Problem angeben, die der Schneidermeister Eugen Kopf aus Ludwigshafen im Jahr 1919 publiziert hat. Gegeben sei ein Winkel, der in drei Teile geteilt werden soll (Abbildung a). Man zeichnet um den Scheitel O des gegebenen Winkels einen Halbkreis, zeichnet den Durchmesser

durch OA, und in O zeichnen wir das Lot auf AB, um so den Halbmesser zu finden (Abbildung c). Nun zeichnen wir vom Kreis k mit dem Mittelpunkt B, der durch M geht, jenen Bogen, der innerhalb des Bogens AOM liegt. Wir nehmen in den Zirkel und bringen den Kreis mit dem Radius um M zum Schnitt mit der Verlängerung des

Durchmessers über B hinaus.

Der Schnittpunkt sei D. Ist < AOX der gegebene Winkel, so schneiden wir den Kreisbogen k mit der Geraden BX. Ist C der Schnittpunkt, so ist der Winkel < CDO angenähert der dritte Teil des Winkels < AOX. Der Fehler dieser Näherungskonstruktion liegt, wie man zeigen kann, stets unter 8'12".

Auch Dürer hat in seiner "Underweysung der messung mit dem Zirkel und richtscheyt" aus dem Jahre 1525 eine Näherungslösung des Winkeldreiteilungsproblems angegeben. Sei < AOB ein gegebener Winkel. Dürer drittelt nun die Sehne in den Punkten und und errichtet in diesen beiden Punkten die Senkrechten auf die Sehne zum Kreisbogen hin. Die Schnittpunkte der Senkrechten mit dem Kreisbogen bezeichnet er mit und . Nun zieht Dürer um den Punkt A einen Kreis mit dem Radius und um B einen mit dem Radius . Die Schnittpunkte dieser Kreise mit der Sehne AB bezeichnet er mit bzw. . Die Strecken und werden nun durch Punkte bzw. so gedrittelt, daß gilt:

und

Nun schlägt Dürer Kreise um A und B mit dem Radius bzw. und bringt diese mit dem Winkelkreisbogen in den Punkten und zum Schnitt. Dann stellen - wie man zeigen kann - die Teilungspunkte , eine annähernde Winkeldreiteilung dar. Der Winkel < AO ist etwas kleiner als das Drittel des Winkels < AOB. Jedoch kann man zeigen, daß der Fehler für Winkel bis zu 90° kleiner als eine Minute ist.

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